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2024.09.06     

円周率の定義とは？簡易的な求め方も合わせて簡単に解説！

円周率main

円周率は小学5年生で初めて習いますが、大学入試でも円周率に関係する問題はよく出てきます。

小学生で覚えておく円周率はだいたい3.14までですが、3.14以下も無限に続くことが知られています。単純なようで奥深い円周率とは一体なんなのでしょうか。

この記事では円周率について何も知らない人でも理解できるように簡単に解説します。

もくじ

円周率の定義とは？

円周率の定義は「円の直径に対する円周の長さの比率」のことで、簡単に表現すると「円周は直径の何倍か」という値です。

円はどの円とも相似であるため、どの円でもこの比率は変わりません。そのため円周率という言葉が定義されました。公式は以下のようになります。

円周率_1.png

つまり、円周は直径の3倍よりも少し長いということです。

円周率_2.png

100桁までの円周率

参考までに100桁までの円周率を紹介します。

円周率_3.png

円周率の使い方

円周率を使う場合は以下のようなときです。

・直径から円周を求める
・円の面積を求める

それぞれの場合について円周率の使い方を紹介していきます。


直径から円周を求める


円周率の公式から直径と円周率を用いて円周を求めることができます。直径が2の円の円周は円周の公式を変形することで、次のように求められます。

円周率_4.png

中学生から円周率は$π$、半径は$r$という記号を用いて表すため、円周は2$πr$と表すこともできます。

円の面積を求める


円の面積の求め方として以下のように習います。

■小学生
円の面積 = 半径 × 半径 × 円周率
■中学生以降
円の面積 = $πr$2

どちらも意味としては一緒で、中学生以降は記号(半径 = $r$, 円周率 = $π$)を用いて表しているだけです。

ではなぜこの式で円の面積が求まるのでしょうか。よく使われる説明として円をこのように切って整列する方法があります。

円周率_5.png

切る数がこのように少ないとでこぼこしていますが、もっと細かく切ると

円周率_6.pngこのようにどんどん細かくしていくと底辺が円周の半分、高さが半径の平行四辺形に近づいていきます。

平行四辺形の面積 = 底辺×高さ なので

円周率_7.pngということになります。

簡易的な円周率の求め方

小学生でも円周率が3以上であることが求められます。円に内接する正6角形を考えてみます。

円周率_8.png直線ABと弧ABに注目すると直線AB<弧ABで残りの正六角形の辺と弧も同様のことが言えるため、正六角形の周の長さ＜円周ということが言えます。・・・①

円周率_9.pngまた、三角形OABは半径であるOA=OBで角AOBが60°の二等辺三角形です。

円周率_10.png二等辺三角形なので角OAB=角OBAであるといえ、残りの120°を等分すると角OAB=角OBA=60°となり、三角形OABは全ての角度が60°の正三角形であることがわかります。

円周率_11.pngよって正六角形の各辺は半径と同じで、正六角形の周の長さは6×半径で、3×直径と言えます。・・・②
①と②より
3×直径 < 円周 = 円周率 × 直径
よって
3 < 円周率
であることが示せました。

円に内接する正多角形の角数を増やせば増やすほど円周率に近い値が求められます。実際に東京大学で2003年に「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」という問題が出ましたが、正12角形を用いた同様の考えで計算することで示すことができます。

まとめ

いかがでしたでしょうか。
当たり前のように「円周率=3.14」と習いますが東京大学の入試問題に出題されるほど円周率は奥深いものです。

自分で実際に円周率を求めてみて、円周率がなんなのか、なぜそうなるかといった本質を理解できるようにしましょう。

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