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2025.06.06

等比数列は簡単！一般項や和の公式を1から解説します

等比数列の和 サムネイル

数Bの数列を学習すると等差数列の次に学ぶのが等比数列です。しかし等比数列に比べて見た目が複雑で規則性も掴みにくいため、苦手意識を持っている人も多いのではないでしょうか。等比数列は漸化式の問題を解くときにも多く使うので確実に理解しておきましょう。

等比数列の一般項や和は要領をおさえれば簡単に求めることができます。ぜひこの機会にしっかり理解して苦手意識をなくしましょう。

もくじ

等比数列とは？

数列はある規則に従って並ぶ数のことですが、等比数列は隣り合う数の比が常に一定の数列です。

例えば、
$1,2,4,8,16,32,・・・$

と続く数列は隣り合う数の比が常に$1:2$で一定です。
ここでいう最初の1を初項と言い、比のことを公比と言います。

ある項から次の数を求めるにはその項に公比をかければ求まり、n番目の項には初項にn-1回公比をかければ求まります。

等比数列 法則

等比数列の公式

初項$a_1$で公比が$r$のとき等比数列の一般項$a_n$は次のように表せます。
等比数列の公式として理解しましょう。


等比数列 公式

等比数列の練習問題

問. 初項が4公比が3の等比数列の一般項を求めよ


解答はこちら

問. 第2項が3、第5項が192の等比数列の一般項を求めよ


解答はこちら

等比数列の和の公式

初項が$a$、公比が$r$、項数が$n$の等比数列の和$Sn$は以下のように表せます。


等比数列の和 公式

では公式がなぜそうなるのかを考えていきます。
2つ目の公式は簡単です。公比が1と言うことは全ての項が初項と言うことです。

等比数列の和 公式 公比1

1つ目の公式は$Sn$とそれを$r$倍した$Sn$をずらして並べ計算することで導き出せます。
$~~Sn​=a+ar+ar^2+⋯+ar^{n−2}+ar^{n−1}$
$rSn​=~~~~~~~ar+ar^2+⋯+ar^{n−2}+ar^{n−1}+ar^{n}$

上の式から下の式を引くことで真ん中の部分が全て打ち消すことができます。

等比数列の和 公式 説明

ここでr≠1なので(1-r)で両辺を割ると

等比数列の和 公式 導出

等比数列の和の練習問題

問. 初項3、公比が2、項数が5の等比数列の和を求めよ


解答はこちら

問. 初項4、公比が$-\frac{3}{2}$、項数が10の等比数列の和を求めよ


解答はこちら

まとめ

いかがでしたでしょうか。本記事では、等比数列について、一般項と和の求め方を解説しました。

等比数列は数列では最も頻出の計算で、漸化式でも多く用いる考え方なので、やり方を覚えて、さまざまな式で応用できるように理解しておきましょう。

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