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2025.07.04

三平方の定理（ピタゴラスの定理）とは？計算の仕方と証明をやさしく解説！

三平方の定理サムネイル

もくじ

三平方の定理(ピタゴラスの定理)とは？


三平方の定理（ピタゴラスの定理）は、直角三角形において斜辺の長さをc、ほかの2辺をa,bとした時に、以下の式が成り立つという定理です。


三平方の定理公式

3辺の長さa,b,cのうち2つがわかれば、残りの1辺の長さを求めることができます。


また、三平方の定理は逆も成り立ちます。三角形の3辺の長さの関係が


三平方の定理の逆

となる場合、その三角形はすべて直角三角形であるといえます。


この時cが一番大きい値であり、直角三角形で一番長い斜辺であることを理解しておきましょう。

この定理を用いることで、xy平面上における2点間の距離を求めることができます。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)の応用

xy平面上における2点間の距離


2点間の距離と三平方の定理

原点O(0,0)からB(4,3)までの距離cは、点Bからx軸に垂線をおろしてできる直角三角形OBCに着目することで、以下のように計算できます。


2点間の距離

もちろん原点からでなく、座標がわかっていればxy平面のどこに2点があっても計算ができます。

紐を用いた直角の作図

三平方の定理を活用し、紐を使って直角を作ってみましょう。

例えば12mの紐を使い、3m、4m、5mに分割して三角形を作ると上記と同じ辺の比が3:4:5の直角三角形が出来上がります。


紐を用いた直角の作図

直角を示すものがない場合でも、三平方の定理を満たす3辺の長さを用いることで、直角を簡単に作図することができます。

特別な直角三角形の3辺の比

三平方の定理の問題でよく出てくる三角形は、「特別な直角三角形」と呼ばれています。ここでは代表的な3つの直角三角形について紹介します。


代表的な直角三角形

①は、辺の比がすべて自然数になる直角三角形の中で、一番簡単なものです。

長さがすべて自然数の直角三角形の辺の比をa:b:cとした時、a,b,cの組をピタゴラス数と言います。

上図の3,4,5のほかにも、5,12,13や7,24,25などもピタゴラス数として知られています。


②と③は三角定規の形と同じです。30度、45度、60度とキリがいい角度が出てくる三角形です。こちらは辺の比に加え、角度まで合わせて覚えておきましょう。

三平方の定理(ピタゴラスの定理)の証明

三平方の定理(ピタゴラスの定理)を証明する方法は100以上あると言われています。今回は、直感的に一番わかりやすい証明を解説します。

辺の長さがa, b, cの直角三角形を以下の図のように4つ並べ、1辺の長さがa+bの大きい四角形を作ります。


外側の大きい四角形は4つの辺がa+bで角がすべて直角のため、正方形です。

次に、中にできる四角形の角度に注目してみましょう。


三平方の定理の証明1

1つの角は180-x-yとなり、これは三角形の内角の和が180度であることから90度となります。

つまり、中の四角形もすべての角が等しく、すべての辺の長さも等しいため、正方形であることがわかります。


三平方の定理の証明2

ここで、中の正方形の面積を考えます。一辺の長さがcの正方形であるため、面積はc×cと計算できます。

ここで中の正方形は、大きい正方形から4つの直角三角形を引いても求められるため、以下の式が成り立ちます。

中の正方形の面積=大きい正方形の面積-4つの直角三角形


三平方の定理の証明3

以上から、三平方の定理の式を導けました。

練習問題

1. 直角三角形の一辺が 6 cm、もう一辺が 8 cm のとき、斜辺の長さを求めなさい


解答はこちら
練習解答1

2. 次の三角形が直角三角形かどうか答えなさい
a. 5 cm, 12 cm, 13 cm
b. 2 cm, 3 cm, 4 cm


解答はこちら
練習解答2

3. 直角二等辺三角形の斜辺の長さが2の時、他の辺の長さを求めなさい


解答はこちら
練習解答3

4. もう1つの角が30°の直角三角形の斜辺の長さが3の時、他の辺の短い方の長さを求めなさい


解答はこちら
練習解答4

5. 平面上の点A(1, 2)と点B(6, 14)の距離を求めなさい


解答はこちら
練習解答5

6. 1辺が10の正方形の対角線の長さを求めなさい


解答はこちら
練習解答6

7. ある垂直に立つ鉄塔からロープを斜めに張ったところロープの長さは15mで、ロープの設置点から鉄塔までの距離が9mだった時、鉄塔の高さは何mか


解答はこちら
練習解答7

まとめ

三平方の定理（ピタゴラスの定理）は、数学において非常に重要な概念であり、図形の性質を理解するうえで欠かせないもので、もちろん受験にも必要不可欠です。

本記事では、定義から証明、頻出問題、実生活への応用例まで一貫して学べる構成にしました。図解と練習問題を活用しながら、理解を定着させてください。

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