2024.04.05 2024.04.08
三平方の定理(ピタゴラスの定理)とは?計算の仕方と証明をやさしく解説!
三平方の定理とは?
三平方の定理(ピタゴラスの定理)は、直角三角形において斜辺の長さをc、ほかの2辺をa,bとした時に、以下の式が成り立つという定理です。
3辺の長さa,b,cのうち2つがわかれば、残りの1辺の長さを求めることができます。
また、三平方の定理は逆も成り立ちます。三角形の3辺の長さの関係が
となる場合、その三角形はすべて直角三角形であるといえます。
この定理を用いることで、xy平面上における2点間の距離を求めることができます。
三平方の定理の応用
xy平面上における2点間の距離
原点O(0,0)からB(4,3)までの距離cは、点Bからx軸に垂線をおろしてできる直角三角形OBCに着目することで、以下のように計算できます。
もちろん原点からでなく、座標がわかっていればxy平面のどこに2点があっても計算ができます。
紐を用いた直角の作図
三平方の定理を活用し、紐を使って直角を作ってみましょう。
例えば12mの紐を使い、3m、4m、5mに分割して三角形を作ると上記と同じ辺の比が3:4:5の直角三角形が出来上がります。
直角を示すものがない場合でも、三平方の定理を満たす3辺の長さを用いることで、直角を簡単に作図することができます。
特別な直角三角形の3辺の比
三平方の定理の問題でよく出てくる三角形は、「特別な直角三角形」と呼ばれています。ここでは代表的な3つの直角三角形について紹介します。
①は、辺の比がすべて自然数になる直角三角形の中で、一番簡単なものです。
長さがすべて自然数の直角三角形の辺の比をa:b:cとした時、a,b,cの組をピタゴラス数と言います。
上図の3,4,5のほかにも、5,12,13や7,24,25などもピタゴラス数として知られています。
②と③は三角定規の形と同じです。30度、45度、60度とキリがいい角度が出てくる三角形です。こちらは辺の比に加え、角度まで合わせて覚えておきましょう。
三平方の定理の証明
三平方の定理を証明する方法は100以上あると言われています。今回は、直感的に一番わかりやすい証明を解説します。
辺の長さがa, b, cの直角三角形を以下の図のように4つ並べ、1辺の長さがa+bの大きい四角形を作ります。
外側の大きい四角形は4つの辺がa+bで角がすべて直角のため、正方形です。
次に、中にできる四角形の角度に注目してみましょう。
1つの角は180-x-yとなり、これは三角形の内角の和が180度であることから90度となります。
つまり、中の四角形もすべての角が等しく、すべての辺の長さも等しいため、正方形であることがわかります。
ここで、中の正方形の面積を考えます。一辺の長さがcの正方形であるため、面積はc×cと計算できます。
ここで中の正方形は、大きい正方形から4つの直角三角形を引いても求められるため、以下の式が成り立ちます。
中の正方形の面積=大きい正方形の面積-4つの直角三角形
以上から、三平方の定理の式を導けました。
まとめ
いかがでしたでしょうか。本記事では、三平方の定理の計算の仕方と証明について解説しました。
定理自体は比較的覚えやすいですが、導出の仕方や応用の仕方も含めて学ぶことで、定理の本質を理解できるようになるはずです。
証明に関しては、今回1つだけ紹介しましたが、まだまだたくさんのほかの証明が存在します。気になった方はぜひご自身で検索してみてください。
教室数・生徒数No.1の個別指導塾!
明光義塾では、勉強の進め方や、勉強計画の立て方など、学習の質を高めるための豊富なノウハウを持っています。お子さまの抱える課題に向き合いながら、目標に向かって効率的な勉強を行えるようサポートできます。
お子さまの現状の課題を知りたい方、お子さまの更なる成長をお考えの方は、ぜひ一度お近くの明光義塾までお気軽にご相談ください。
この記事を家族や友人に教える
関連タグ
あわせて読みたい記事
-
中学3年生で習う公式の1つに二次方程式の解の公式があります。解の公式を自由自在に操れると、二次方程式の解をすぐに出せるようになります。 しかし、解の公式には平方根や分数が出てきます。単純に計算として...
-
中学3年生や高校の数学で習う文字と式の単元で出てくるのが因数分解です。共通因数や定数項など聞き慣れない言葉が説明で多く出てくるのに加え、覚えておかなければいけないテクニックが複数あります。 意味や公...
-
中学生の自己効力感を調査!保護者1,000名へのアンケートで明らかになった実態とは?
2024.04.26
自己効力感とは新しいことに挑戦する際に、「やればできる」「きっとうまくいく」と目標達成のために必要な能力を自分自身が持っていると信じる度合いのことを言います。自己効力感が高ければ高いほど、お子さまが...
タグ一覧
- #保護者向け
- #高校受験
- #大学受験
- #アンケート
- #勉強法
- #中学受験
- #勉強効率
- #接し方
- #集中力
- #インタビュー
- #勉強計画
- #塾
- #教育改革
- #勉強時間
- #数学
- #英語
- #日常生活
- #勉強環境
- #夏休み
- #進路選択
- #体調管理
- #学生生活
- #定期テスト
- #習慣化
- #食べもの
- #復習
- #費用
- #面接
- #模試
- #進学
- #部活
- #モチベーション
- #推薦
- #教室紹介
- #習い事
- #記憶力
- #スマホ
- #偏差値
- #受験前
- #国語
- #新学年
- #算数
- #総合型選抜
- #自由研究
- #褒め方
- #ルール
- #一般入試
- #内申点
- #叱り方
- #料理
- #通知表
- #個別指導
- #学校生活
- #小論文
- #春休み
- #理科
- #社会
- #自分らしさを仕事にする
- #計画
- #読書感想文
おすすめ記事
-
連立方程式は簡単!基本問題の解き方から文章題の解き方まで徹底解説します
2024.04.25
連立方程式は中学数学で出てくる単元で、苦手な中学生も多いです。 つまずきやすい理由は一元方程式や分数、小数など、これまでに学んだ数学の内容が一挙に出てきて総合力が問われ、また、使う文字や式が増えるた...
-
自主学習にお困りの方に、ネタの決め方・ノートの書き方まで徹底解説します!
2024.04.25
学校から自主学習をするようにと言われて、「何をすればいいの?」「進め方があってるのか不安」と悩まれているご家庭も多いことでしょう。 そこでこの記事では、そもそも自主学習をする目的、ネタの探し方・決め...
-
小学生や中学生、高校生は、学校や塾でノートを取る機会が必ずあります。情報を書き留め、整理することは、学習において重要なポイントです。 しかし中には、「どうしてノートを取る必要があるのだろう」と感じて...
-
「国語の授業で作文の課題が出たけど何を書いていいかわからない」 「なんとなくで書いたけど文章に違和感がある…」 多くの小・中学生は作文を苦手だと感じています。しかし、作文はコツさえ押さえてしまえば、...
-
定期テスト(中間テスト・期末テスト)の勉強はいつから始める?高得点を狙える勉強法とは
2024.04.25
定期テストの勉強はいつから始めていますか?定期テストの結果は、1年の成績を大きく左右するうえ、内申にも直結します。そのため受験を視野に入れた勉強では、学力を高めることと同時に、定期テストで高...