2025.04.28

必要条件と十分条件の違いとは？命題の真偽を用いてやさしく解説！

高校1年生で習う必要条件と十分条件、どちらがどちらか混乱してしまう人も多いのではないでしょうか。

そこでこの記事では、基礎となる命題とは何かというところから、命題の真偽、必要条件と十分条件の違いについて図や練習問題を用いてやさしく解説します。

命題は「真か偽か」が決まる文のこと

命題とは、真(正しい)か偽(間違っている)か、はっきり決まっている文のことです。

例えば、
「2は偶数である」→正しいため命題と言えます。
「2は奇数である」→間違っているため命題と言えます。

逆に、
「お寿司は美味しい」→人によって異なるためこれは命題とは言えません。
このように個人の主観によって結果が変わる文は命題と言えません。

数学では命題は基本的に「○○ならば△△である」という形で出てきます。
先の例であれば「2ならば偶数である」というような形です。

必要条件、十分条件とは

2つの条件P、Qで「PならばQである」という命題が真であるとき、

・ QはPであることの必要条件
・ PはQであることの十分条件

と言います。

ただ覚えるためだけなら「QはPの」と読む方向は左なので「左のひは必要条件のひ」と覚えることもできます。

これからは具体的な例で本質的に理解していきましょう。
例えば、「鶏ならば鳥である」は真の命題です。

・必要条件の確認
鳥であることは鶏であることの必要条件です。鳥でなければ鶏ではないからです。

・十分条件の確認
鶏であることは鳥であることの十分条件です。鶏ということがわかった時点で鳥であることは十分にわかるからです。

必要条件と十分条件を判定する方法

必要条件なのか十分条件なのかを判定するためには

「PならばQ」
「QならばP」

のそれぞれを判定する必要があります。その判定は以下のステップで行いましょう。

・反例を見つける
・証明・説明をする

①反例を見つける

先ほどの鶏の例のように、間違っている例を見つけましょう。

例えば2つの条件、
P：東京都に住んでいる
Q：日本に住んでいる
のとき、Pに着目して必要条件なのか十分条件なのかを確認しましょう。

・ PはQの必要条件であるか？
日本在住であるといっても東京以外に住んでいることがあります。つまり、日本在住であるためには東京都に住むことは必要ではないため必要条件ではありません。

②証明・説明をする

・ PはQの十分条件か
東京都に住んでいる場合、十分に日本に住んでいると言えます。そのため東京都に住んでいることは日本に住んでいることの十分条件です。

必要十分条件とは

「PならばQである」というのは逆にすると成り立たないものがあります。

「鶏ならば鳥である」というのは真ですが、「鳥ならば鶏である」というのは偽です。
鳥には鶴や白鳥などさまざまな種類があるからです。
しかし、命題を逆にしても成り立つものがあります。

「内角の和が180度ならば三角形である」
「三角形ならば内角の和は180度である」

このように、
「三角形」は「内角の和が180度」の必要条件でもあり、
「三角形」は「内角の和が180度」の十分条件でもあるような命題を必要十分条件を満たすと言います。

ベン図で理解する必要条件・十分条件

・鶏
・鳥
という条件のとき、鶏は鳥に包含されます。

鶏が鳥に含まれるには、鳥の条件を満たす必要があるため、大きいほうの条件が必要条件です。つまり、鳥は鶏であることの必要条件です。

鶏の中に入っていれば鳥の中に入っていると十分に言えるため十分条件です。つまり、鶏は鳥であることの十分条件です。

練習問題

問.「3以上の素数は奇数である」は命題か

解答はこちら

問.「3以上の素数」は「奇数」であることの十分条件か

解答はこちら

問.「3以上の素数」は「奇数」であることの必要条件か

解答はこちら

まとめ

いかがでしたでしょうか。本記事では、必要条件と十分条件について命題とは何か、というところから解説しました。

必要条件と十分条件は、命題の真偽を通して理解するのが大事なポイントです。

反例やベン図、証明・説明などさまざまな方法で判断できるようにしておくと、テストや入試でも安心です。数学の問題で、どちらがどちらかすぐに答えられるよう、繰り返し練習しましょう。

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