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2025.05.01

部分分数分解は簡単！やり方と公式を3つのパターンと4つのステップでやさしく解説します！

明光サムネ (3).png

部分分数分解という言葉自体がややこしく苦手意識を持っている方も多いのではないでしょうか。

数Ⅲの積分で部分分数分解が必要になることもあり、大学入試で出ることもあるためしっかりと理解しておきたいところです。

部分分数分解は要領をおさえてしまえばとても簡単です。ぜひこの機会にしっかりと理解して苦手意識をなくしていきましょう。

もくじ

部分分数分解とは？何のためにやるのか

部分分数分解とは分数の式を単純な分数に分けるテクニックのことです。
のとき (13).png
部分分数分解をすることで、分母が掛け算で表されるような複雑な式を、分母が単純な形の足し算に直すことができます。左向きに式を整えることを通分と言うので、部分分数分解は通分の逆の操作です。

このように分解することで、積分しやすい形になるなどメリットがあるのが部分分数分解です。

部分分数分解の覚えるべき3つの公式パターン

部分分数分解には、大きく分けて3つの公式のパターンがあります。
のとき (8).png
これら2つの公式は基本のパターンで共通テストでも頻出です。$A,B$は定数なので次のように通分することで計算することができます。

rendered_image5.png
$x\neq -a, -b$ のとき両辺は等しいので元々の式の$x$の係数が0であること、定数項が1であることから次の連立方程式を解くことで$A,~B$の計算が可能です。
明光プラス_球の体積・表面積_解答 (5).png
(2)の公式も同様に計算することで$A,B$を導くことができます。

のとき (9).png
2乗の場合、同じ式が分母に並んでしまうため、(2)のようにしても左辺の式を導くことができません。そのためこの(3)の公式のように1乗の分母と2乗の分母を並べると覚えておきましょう。

部分分数分解のやり方4ステップ！

部分分数分解をするときは次の4つの手順を覚えておき実行しましょう。

ステップ１. 分母を因数分解する

まずは式の分母を因数分解します。すでに因数分解されているときはこのステップは飛ばします。
例：
明光プラス_球の体積・表面積_解答 (8).png

ステップ２.公式のパターンに当てはめて式を立てる

明光プラス_球の体積・表面積_解答 (6).png
は公式(1)のパターンなので、次のように式を立てます。

rendered_image9.png


ステップ３.両辺に共通の分母をかけて分数を消す

先ほどは通分しましたが、やっていることは一緒です。途中式で書く量が少なくなるため、こちらのほうがおすすめです。

rendered_image11.png


ステップ４.連立方程式を解く

$x$の1次の係数と定数項を比較すると

rendered_image12.png

連立方程式の解き方はこちらの記事で詳しく解説しています。もし難しい連立方程式で悩んでしまう場合にはこちらの記事を参考にしてください。
連立方程式は簡単！基本問題の解き方から文章題の解き方まで徹底解説します

練習問題

問.$\frac{1}{(2x-1)(x+2)}$を部分分数分解しなさい


解答はこちら

問.$\frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}$を部分分数分解しなさい


解答はこちら

問.$\frac{3x+5}{(x+1)^2}$を部分分数分解しなさい


解答はこちら

まとめ

いかがでしたでしょうか。本記事では、部分分数分解について、3つの公式のパターンや4ステップのやり方を解説しました。

部分分数分解は大学受験では頻出の計算方法ですので、やり方を覚えて、さまざまな式で応用できるように理解しておきましょう。

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